بازی احاطه ای در گراف ها

بازی احاطه ای بر روی گراف های ساده ی بدون جهت توسط دو بازیکن $mathcal d$ و $mathcal a$ انجام می شود. هر یک از این بازیکنان در نوبت بازی خود یک یال بدون جهت را انتخاب و آن را جهت گذاری می کنند. بازی را بازیکن $mathcal d$ شروع می کند و در جهت گذاری یال ها به دنبال کاهش عدد احاطه ای گراف جهت داری است که در انتهای بازی به دست خواهد آمد، در حالی که بازیکن $mathcal a$ به دنبال افزایش این عدد است. عدد احاطه ای گراف جهت دار به دست آمده در انتهای این بازی را عدد بازی احاطه ای گراف $g$ می گویند و با $ gamma_g(g) $ نمایش می دهند. اولین بار آلن و همکارانش ${ m (discrete math 256(2002), 23-33)}$ این بازی را که موضوعی مشترک میان نظریه ی بازی ها و مجموعه های احاطه گر در نظریه ی گراف ها است، تعریف کرده و کران $gamma_g(g)+gamma_g(overline{g})leq dfrac{2}{3}n+3$ را وقتی $ g $ و $ overline{g} $ هردو همبند باشند، به عنوان یک حدس مطرح نمودند. در این رساله کران مذکور را در حالتی که $g$ و $ overline{g} $ دارای راس تنها نباشد، اثبات می کنیم. در ادامه ی رساله بازی های احاطه ای جدیدی بر حسب زیرتقسیم یال ها تعریف شده است. اولین بازی با نام بازی زیرتقسیم احاطه ای قواعدی مشابه بازی احاطه ای دارد با این تفاوت که $mathcal d$ در نوبت های بازی خود یکی از یال های بدون علامت $g$ را علامت گذاری کرده و $mathcal a$ یال های انتخابی خود را زیرتقسیم و آن ها را علامت گذاری می کند. بازی زمانی تمام می شود که تمام یال های $g$ علامت گذاری شده باشند. اگر گراف نهایی را با $g$ نمایش دهیم، هدف $mathcal d$ در بازی مینیمم کردن $gamma(g)$ و $mathcal a$ به دنبال افزایش آن است. این عدد را عدد بازی زیرتقسیم احاطه ای $ g $ می نامند و با $gamma_{gs}(g)$ نمایش می دهند. در بخش دوم این رساله، عدد بازی زیرتقسیم احاطه ای در درخت ها بررسی و چند کران برای آن ارائه شده است. هم چنین عدد بازی زیرتقسیم احاطه ای در چند رده از گراف ها به دست آمده است. پس از آن بازی جدید دیگری نیز تحت عنوان بازی زیرتقسیم احاطه ای رومی تعریف می کنیم. جزئیات این بازی کاملا شبیه بازی زیرتقسیم احاطه ای است اما هدف بازیکن های $mathcal d$ و $mathcal a$ در این بازی به ترتیب کاهش و افزایش عدد احاطه ای رومی در گراف جهت داری است که در انتهای بازی به دست خواهد آمد. این عدد را عدد بازی زیرتقسیم احاطه ای رومی $ g $ گویند و با نماد $gamma_{rgs}(g)$ نشان می دهند. در بخش سوم این رساله عدد بازی زیرتقسیم احاطه ای رومی مورد بررسی قرار گرفته و چند کران قابل وصول برای آن در درخت ها ارائه شده است.